世界三大数学猜想
世界三大数学猜想 (第1/3页)
世界三大数学猜想即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
费马猜想的证明于1994年由英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andreiles）完成，遂称费马大定理；
四色猜想的证明于1976年由美国数学家阿佩尔(KennethAp|pel)与哈肯(olfgangHaken)借助计算机完成，遂称四色定理；
哥德巴赫猜想尚未解决，目前最好的成果（陈氏定理）乃于1966年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。
费马大定理编辑
内容
当整数n2时，关于x,y,z的不定方程x^n+y^n=z^n无正整数解。
简介
这个定理，本来又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。在一战之后，马克大幅贬值，该定理的魅力也大大地下降。
但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1994年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。而安德鲁·怀尔斯（Andreiles）由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
发现
费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美|妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”（拉丁文原文：xiguitasnoncaperet。）
毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。对很多不同的n，费马定理早被证明了。但数学家对一般情况在首二百年内仍对费马大定理一筹莫展。
莫德尔猜想
1983年，联邦德国数学家伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，从而翻开了费马大定理研究的新篇章，伐尔廷斯获得1982年菲尔兹奖。
伐尔廷斯于1954年7月28日生于联邦德国的杰尔森柯琛，并在那里渡过了学生时代，而后就学于内斯涛德教授门下学习数学。1978年获得博士学位。他作过研究员、助教，现在是波恩大学的教授。他在数学上的兴趣开始于交换代数，以后转向代数几何。
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、有理系数的二元多项式，当它的“亏格”大于或等于2时，最多只有有限个解。记这个多项式为f(x，y），猜想便表示：最多存在有限对数偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。
后来，人们把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。因此，伐尔廷斯实际上证明的是：任意定义在数域K上，亏格大于或等于2的代数曲线最多只有有限个K一点。
数学家对这个猜想给出各种评论，总的看来是消极的。1979年利奔波姆说：“可以有充分理由认为，莫德尔猜想的获证似乎还是遥远的事。”
对于“猜想”，1980年威尔批评说：“数学家常常自言自语道：要是某某东西成立的话，‘这就太棒了’（或者‘这就太顺利了’）。有时不用费多少事就能够证实他的推测，有时则很快否定了它。但是，如果经过一段时间的努力还是不能证实他的预测，那么他就要说到‘猜想’这个词，既便这个东西对他来说毫无重要性可言。绝大多数情形都是没有经过深思熟虑的。”因此，对莫德尔猜想，他指出：我们稍许来看一下“莫德尔猜想”。它所涉及的是一个算术家几乎不会不提出的问题；因而人们得不到对这个问题应该去押对还是押错的任何严肃的启示。
然而，时隔不久，1983年伐尔廷斯证明了莫德尔猜想，人们对它有了全新的看法。在伐尔廷斯的文章里，还同时解决了另外两个重要猜想，即台特和沙伐尔维奇猜想，它们同莫德尔猜想具有同等重大意义。
这里主要解释一下莫德尔猜想，至于证明就不多讲了。所谓代数曲线，粗略一点说，就是在包含K的任意域中，f(x，y)=0的全部解的集合。
令F(x，y，z）为d次齐次多项式，其中d为f(x，y）的次数，并使F(x，y，1）=f(x，y），那么f(x，y）的亏格g为
g≥（d-1）（d-2）/2
当f(x，y）没有奇点时取等号。
费马多项式x^n+y^n-1没有奇点，其亏格为（n-1）（n-2）/2。当n≥4时，费马多项式满足猜想的条件。因此，xn+yn=zn最多只有有限多个整数解。
为什么猜想中除去了f(x，y）的亏格为0或1的情形，即除去了f(x，y）的次数d小于或等于3的情形呢？我们说明它的理由。
d=1时，f(x，y)=ax+by+c显然有无穷多个解。
d=2时，f(x，y）可能没有解，例如f(x，y)=x2+y2+1；但是如果它有一个解，那么必定有无穷多个解。我们从几何上来论证这一点。设P是f(x，y）解集合中的一点，令l表示一条不经过点P的直线（见上图）。对l上坐标在域K中的点Q，直线PQ通常总与解集合交于另一点R。当Q在l上取遍无穷多个K—点时，点R的集合就是f(x，y）的K—解的无穷集合。例如把这种方法用于x2+y2-1，给出了熟知的参数化解：
当F(X，Y，Z）为三次非奇异（即无奇点）曲线时，其解集合是一个所谓椭圆曲线。我们可用几何方法做出一个解的无穷集。但是，对于次数大于或等于4的非奇异曲线F，这种几何方法是不存在的。虽然如此，却存在称为阿贝尔簇的高维代数簇。研究这些阿贝尔簇构成了伐尔廷斯证明的核心。
伐尔廷斯在证明莫德尔猜想时，使用了沙伐尔维奇猜想、雅可比簇、高、同源和台特猜想等大量代数几何知识。莫德尔猜想有着广泛的应用。比如，在伐尔廷斯以前，人们不知道，对于任意的非零整数a，方程y2=x5+a在Q中只有有限个
有限组互质
1983年，en:GerdFaltings证明了Mordell猜测，从而得出当n2时（n为整数），只存在有限组互质的a,b,c使得a^n+b^n=c*n。
GerhardFrey
1986年，GerhardFrey提出了“ε-猜想”：若存在a,b,c使得a^n+b^n=c^n，即如果费马大定理是错的，则椭圆曲线y^2=x(x-a^n)(x+b^n)会是谷山-志村猜想的一个反例。Frey的猜想随即被KennethRibet证实。此猜想显示了费马大定理与椭圆曲线及模形式的密切关系。
怀尔斯和泰勒
1995年，怀尔斯和泰勒在一特例范围内证明了谷山-志村猜想，Frey的椭圆曲线刚好在这一特例范围内，从而证明了费马大定理。
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